Шум Брауна

Шум Брауна (также «бурный шум», «Brownian noise», «Brown noise») — случайный сигнал, спектральная плотность мощности которого убывает пропорционально 1 / 𝑓 2 1/f 2 . Название связано с аналогией с броуновским движением: непрерывный интеграл белого шума даёт процесс, статистически подобный броуновскому движению, отсюда и термин. <ref name="note1">Шаблон:Citation needed</ref>

Краткое описание

Шум Брауна характеризуется тем, что его энергия концентрируется в низких частотах: спектральная плотность мощности (PSD) удовлетворяет приближению <math>S(f)\propto \dfrac{1}{f^{2}},</math> где <math>f</math> — частота. По восприятию сигнал «ниже» по тембру по сравнению с розовым шумом (<math>S(f)\propto 1/f</math>) и значительно «ниже», чем белый шум (плоский спектр).

Математическая модель

В непрерывной модельной записи шум Брауна <math>b(t)</math> можно получить как интеграл белого шума <math>w(t)</math>: <math>b(t)=\int_{0}^{t} w(\tau),d\tau.</math>

Дискретная аппроксимация задаётся рекуррентно: <math>b[n]=b[n-1]+x[n],</math> где <math>x[n]</math> — независимые одинаково распределённые (i.i.d.) случайные приращения (например, нормально распределённые с нулевым средним). После генерации обычно выполняют нормировку уровня сигнала.

Методы генерации

Интегрирование белого шума: генерируют последовательность белого шума и суммируют (или применяют скользящую сумму) для получения брауновского процесса; затем нормируют.

Фильтрация (IIR): пропускание белого шума через рекурсивный фильтр первого порядка с усилением на низких частотах — быстрая аппроксимация спектра <math>1/f^{2}</math>.

FFT-метод: формируют амплитудный спектр с амплитудами, обратно пропорциональными частоте (для получения PSD ∝ 1/f² амплитуда ∝ 1/f), задают случайные фазы и выполняют обратное БПФ.

Связь с другими «цветами» шума

Белый шум — PSD постоянна по частоте (энергия равномерно распределена).

Розовый шум — PSD ∝ 1/f (энергия уменьшается медленнее, чем у брауновского).

Брауновский шум — PSD ∝ 1/f² (сильное доминирование низких частот).

Применения

Моделирование броуновского движения и интегрированных случайных процессов в физике, статистике и экономике.

Аудиоприложения: маскирование шумов, звуковой дизайн, генерация природоподобных текстур звука (из-за выраженного низкочастотного компонента используется реже, чем розовый шум).

Тестирование систем и приборов при необходимости сигнала с выраженным низкочастотным содержанием.

Восприятие и безопасность

По слуховому восприятию шум Брауна кажется «глубоким» и «гулким». При высокой громкости низкочастотная энергия может вызывать дискомфорт, вред слуху и/или приводить к повреждению акустического оборудования; рекомендуется контролировать уровень воспроизведения.

Практические советы

Нормируйте сигнал по среднеквадратичному уровню перед сохранением в аудиофайл.

Для «смягчения» звучания можно смешивать брауновский шум с розовым в нужных пропорциях.

Ожидаемый наклон спектра PSD для брауновского шума составляет примерно −6 дB/октаву (что соответствует <math>1/f^{2}</math>).

Примеры кода

Ниже — упрощённый псевдокод дискретной генерации:

 b[0] = 0 for n = 1 to N-1: b[n] = b[n-1] + normal(0, sigma) # затем выполнить нормировку b по RMS 

См. также

Шум (сигналы)

Белый шум

Розовый шум

Броуновское движение